makalah tentang bilangan dan lambangnya. yova yoverina

makalah tentang bilangan dan lambangnya

A.     BILANGAN DAN LAMBANG BILANGAN

Bilangan adalah suatu idea.Sifatnya abstrak.Bilangan bukan simbol atau lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan  mengenai banyaknya anggota suatu himpunan. (Sumber: Ensiklopedia Matematika, 1998).

Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka.

Bilangan utuh

 Contoh:

23=dua puluh tiga         (benar)

duapuluh tiga                (salah)

Penulisan bilangan pecahan

Contoh:

1/2    =  setengah

3/4    = tiga perempat

4/16  = empat perenam belas

3 2/3 = tiga dua pertiga

10%  = sepuluh persen

0,2    = dua perpuluh

2,5    = dua lima perpuluh, atau dua setengah

1,09  = satu sembilan perseratus

Lambang bilangan yang dapat dinyatakan dengan satu atau dua kata ditulis dengan huruf (tidak dengan angka biasa), kecuali jika terdiri atas beberapa lambang bilangan yang dirinci secara berurutan sebagaimana halnya dalam bentuk paparan.

 Contoh:

            Dalam sehari ia makan dua kali. Usianya dua puluh tahun.Dari 50 peserta, 15 orang ikut, dan 35 orang lainnya tidak ikut.30 remaja putri, 15 remaja putra, dan 10 balita.

Lambang bilangan pada awal kalimat harus senantiasa ditulis dengan huruf.

Contoh:

ž     Enam belas tahun yang lalu ia meninggal.

ž     Lima saudaranya laki-laki semua.

ž     Dua ratus para calon mahasiswa diterima.

Catatan:

            Harus diingat bahwa angka biasa tidak dapat diletakkan pada awal kalimat.Oleh sebab itu harus diupayakan dengan mengubah susunannya sehingga memungkinkan tidak adanya angka biasa pada awal kalimat.

B.     Macam-Macam Bilangan

1. Bilangan Asli

Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.

Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).

Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.

Asli/Sail adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).

Contoh:  1,2,3,4,5,6,7,8,….

2.Bilangan Prima 

Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit. Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes
Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.^[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah 2^57,885,161 − 1.^[2] Bilangan ini mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48. M_57885161 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari University of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS.

Jadi bilangan prima adalah bilangan-bilangan  sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan bilangan prima.
Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,….

3.Bilangan cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.
Contoh: 0,1,2,3,4,5,6,7,….

4.Bilangan Bulat

1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

a. Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

            Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c. Sifat asosiatif

            Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

d. Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e. Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

5. Jika p dan q bilangan bulat maka

a. p xq = pq;

b. (–p) x q = –(p xq) = –pq;

c. p x (–q) = –(p x q) = –pq;

d. (–p) x(–q) = p x q = pq.

6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

a. tertutup terhadap operasi perkalian;

b. komutatif: p x q = q x p;

c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);

d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);

e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x(q – r) = (p x q) – (p xr).

7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

b. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

c. Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian () dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Jadi bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif.
Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….

5. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai  p/q dimana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu bilangan desimal secara berulang ulang. Bilangan rasional juga merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).

Bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi 2 sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional. Bila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Contoh dari bilangan rasional:

Jika a/b = c/d maka, ad = bc.

Bilangan rasional juga merupakan bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.

Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
Contoh: -2,2/7,5,2/11,….

6. Bilangan Irrasional

Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan :

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

dan untuk bilangan e:

= 2,7182818....

7. Bilangan Kardinal

Bilangan Kardinal adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan.

Contoh :

{a, b, c, d, e}

Banyaknya anggota himpunan ini adalah 5.

Jadi, bilangan kardinal dari himpunan tersebut

adalah 5

Ditulis : ({a, b, c, d, e}) = 5

8.  Bilangan Ordinal

Bilangan Ordinal (bilangan urutan) diperolehdengan menambahkan “ke” kepada nama bilangan asli. Contoh : kesatu, kedua, ketiga, keempat,…

C.     Cara mengajar bilangan dengan pendekatan membilang

Pendekatan himpunan induk untuk mengajar bilangan cacah adalah cara menanamkan konsep bilangan cacah tertentu dengan menggunakan himpunan yang mempunyai sifat bilangan itu. Himpunan ini disebut dengan himpunan induk. Cara ini ternyata sesuai atau cocok untuk siswa yang masih belum matang atau siswa yang mempunyai pengalaman bilangan yang kurang semasa ditaman kanak-kanak.

Tahapannya yaitu:

ž     Tahap 1, guru menunjukkan kepada siswa sebuah himpunan dari tiga benda misalnya 3 gambar kucing. Guru mengatakan : “ini adalah himpunan 3 gambar kucing”. Sekarang ambil benda lain dari kotak alat peragamu dan buatlah sebuah himpunan 3 benda diatas mejamu masing-masing”.(tersedia seperangkat alat peraga untuk masing-masing siswa). Setelah siswa memperoleh himpunan 3 benda, guru mengambil karton bergambar kedua dan memasangkannya dengan himpunan gambar kucing tadi. Kemudian guru menyuruh siswa mencari himpunan 3 benda yang lain dan memasangkannya dengan himpunan gambar kucing tadi, kemudian guru menyuruh siswa mencari himpuan 3 benda yang lain dan memasangkannya dengan himpunan induk seperti yang dikerjakan guru pada papan panel. Setelah itu, guru memeriksa apa yang telah dilakukan siswa untuk melihat sudah benar atau belum. Kemudian guru menulis lambang bilangan 3 disambing himpunan induk tadi. Kegiatan ini dilakukan berulang-ulang sampai siswa mahir betul dan  paham tentang bilangan 1-9. sebagai sifat dari suatu himpunan. Jadi makna bilangan dalam hal ini adalah sebagai alat untuk menyatakan banyaknya suatu benda atau objek.

ž     Tahap 2, memasangkan pola titik untuk bilangan dari 1-6 seperti yang ada pada dadu, misalnya:

1      2      3        4

 

                                    5           6

                                                                                                                                                

Bilangan selanjutnya dapat diperoleh dari pola sebagai kombinasi dari bilangan antara 1 sampai dengan diatas. Khusus untuk bilangan 10 sering dipolakan dengan:

 

                                                                                                     

ž     Tahap 3, mengajar siswa membilang , da 2 cara membilang yang harus diberikan kepada siswa. Pertama membilang buta (membilang tanpa ada objek yang dibilang), yaitu menyabut nama bilangan menurut urutan tertentu. Kedua membilang bermakna, yaitu siswa menentukan banyaknya anggota himpunan dengan cara membilang. Dalam menolong siswa agar biasa dengan menambah bilangan, ada banyak sajak atau nyanyian yang bisa diajarkan oleh guru kepada siswa, misalnya:

Satu dua aku bangun pagi

Tiga empat aku terus mandi

Lima enam aku makan pagi

Tujuh delapan aku sikat gigi

Sembilan sepuluh aku terus pergi.

D.   Cara Membuat Angka Kepada Anak SD

0

Alat tulis kita digerakkan mulai dari titik A sampai titik A kembali.

1

          Mulai dari titik A anda gerakkan alat tulis yang digunakan sampai titik B.

2

          Tanda panah menunjukkan arah gerak alat tulis untuk membuat angka 2. anda mulai dari titik A sampai dengan titik B.

3

          Mulai dari titik A anda gerakkan alat tulis yang digunakan sampai dengan titik B sesuai pola yang diperlihatkan dengan arah anak panah pada gambar.

4

Ada dua tahap menggerakkan alat tulis untuk membuat angka empat yaitu : pertama mulai dari titik A  anda menggerakkan alat tulis sesuai dengan arah anak panah sampai titk B.

Langkah berikutnya angkatlah alat tulis dan letakkan pada titik C. Mulai dari titik ini anda menggerakkan alat tulis searah dengan anak panah sampai titik D.

5

Untuk membuat angka lima ini ada dua tahap yaitu : pertama mulai dari titik A anda menggerakkan alat tulis sesuai arah yang diperlihatkan oleh anak panah sampai dengan titik B. Langkah berikutnya angkatlah alat tulis dan letakkan pada titik A kembali. Kemudian gerakkan sesuai dengan anak panah sampai dengan titik C.

6

Mulai dari titik A anda gerakkan alat tulis yang digunakan sesuai dengan arah anak panah sampai dengan titik B.

7

Mulai dari titik A gerakkan alat tulis sesuai dengan arah anak panah sampai B

8

Mulai dari titik A gerakkan alat tulis sesuai dengan arah anak panah sampai B

9

Ada dua tahap untuk membuat angka 9. pertama anda gerakkan alat tulis dari A sampai B. Berikutnya angkat alat tulis dan letakkan kembali di A gerakkan anak panah sampai titik C.

Daftar Pustaka

Tarigan,daitin, 2006. Pembelajaran Matematika Realistik. Jakarta. Departemen Pendidikan Nasional.

Masniladevi, dkk. 1996. Pendidikan Matematika. IKIP Padang.

Tim bina karya guru. 2006. Terampil Berhitung Matematika.Jakarta. Erlangga.

https://www.academia.edu/8714260/Konsep_Bilangan_dan_Lambang_Bilangan_serta_pembelajarannya_di_SD

http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.html